Odwrotna dystrybuanta

Odwrotna dystrybuanta, funkcja kwantylowa^[1] – uogólniona funkcja odwrotna do dystrybuanty danego rozkładu prawdopodobieństwa. Zwykle oznaczana ${\displaystyle F^{-1}(p)}$^[2][3].

Jeżeli dystrybuanta ${\displaystyle F(x)}$ jest funkcją ściśle rosnącą, wówczas funkcję odwrotną można zdefiniować jako

${\displaystyle F^{-1}(p)=\{x\in \mathbb {R} :p=F(x)\},}$

gdzie ${\displaystyle p\in (0,1).}$

W przypadku, gdy dystrybuanta nie jest ściśle rosnąca, powyższa definicja nie jest jednoznaczna. Problemu tego unika się, definiując dystrybuantę odwrotną jako:

${\displaystyle F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leqslant F(x)\},}$

gdzie ${\displaystyle p\in (0,1).}$

Tak zdefiniowana dystrybuanta odwrotna ma następujące własności:

${\displaystyle F^{-1}(p)}$ jest niemalejąca dla ${\displaystyle p\in (0,1),}$

${\displaystyle F^{-1}(p)}$ jest lewostronnie ciągła dla ${\displaystyle p\in (0,1),}$

${\displaystyle F^{-1}(F(x))\leqslant x}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ takiego, że ${\displaystyle \Phi (x)\in (0,1),}$

${\displaystyle p\leqslant F(F^{-1}(p))}$ dla ${\displaystyle p\in (0,1).}$